El estudio de las líneas curvas, una parte importante de la geometría, tiene una larga tradición histórica que se remonta al tiempo de los babilonios, pero fue en la época de los griegos el momento en que se sistematizó ese conocimiento.
Dos son las figuras clave de la matemática griega: Tales de Mileto (hacia 624-548 a. C.) y Pitágoras de Samos (alrededor 580-500 a. C.). Ahora bien, su conocimiento matemático inicial era ya conocido por babilonios y egipcios siglos antes el surgimiento de la civilización griega. Fueron ellos los que conservaron y difundieron ese conocimiento. La primera de sus grandes aportaciones es posible que fuera considerar abstracciones las nociones matemáticas: los número y figuras eran creaciones del intelecto humano y no forman parte el mundo real. La recta dejó de ser una cuerda tensa o la arista de una pirámide; el rectángulo no era la linde de una parcela. Fueron ellos los que descubrieron que un enunciado matemático debía demostrarse a partir de ciertos hechos fundamentales, llamados axiomas. Hasta entonces todo se había hecho por inducción, por experimentación suficiente, pero para los griegos una proposición matemática no se demostraba exhibiendo un millar o un millón de casos. Éste fue un progreso de máxima trascendencia.
Fue Tales a quien se le concede el mérito de la invención de una demostración rigurosa. De profesión mercader, en sus viajes pudo encontrarse con fórmulas para calcular áreas de figuras planas o volúmenes. El método que concibió para descubrir enunciados verdaderos en geometría le convierte, por derecho propio, en el padre de la geometría. Esto lo hizo al darse cuenta de que los egipcios y los babilonios tenían dos fórmulas distintas para calcular el volumen de una pirámide truncada. Tales se puso como objetivo encontrar la fórmula correcta (la de los egipcios) y cómo convencer a los demás de que era correcta.
De rectas y curvas
Los griegos tenían la noción de línea curva como el rastro que deja un punto al moverse por el espacio. Las curvas más simples son la recta y la circunferencia. La línea recta es el camino más corto que une dos puntos del espacio, la trayectoria de una mosca (vista con la suficiente lejanía para que parezca un punto) al volar de un punto a otro por el trayecto más corto. Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una misma distancia de otro llamado centro. En la antigüedad se sirvieron de las circunferencias y el sólido que se genera al hacerla girar sobre uno de sus diámetros, la esfera, para describir el movimiento planetario. La idea e Pitágoras de las esferas donde se encuentran los planetas el Sol y las estrellas fue fundamento de la astronomía hasta el siglo XVI. La escuela pitagórica dominó la geometría hasta el asesinato de su fundador en Metaponto.
Uno de los principios de las matemáticas (y quizá de la mente humana) es construir estructuras cada vez más complejas a partir de estructuras simples. Los griegos crearon así figuras complicadas a partir de la recta y la circunferencia. Haciendo girar una circunferencia sobre una recta y tenemos la cicloide; si gira por el exterior de otra circunferencia conseguimos las epicicloides y si lo hace por el interior, la hipocicloide. Otras, las trocoides, están generadas por el movimiento de un punto ligado a una rueda, pero no en un borde, sino más lejos. Si rueda por una recta tenemos la epitrocoide; si es por el exterior, hipotrocoide.
Otro tipo de líneas curvas son las cónicas, generadas al cortar un cono con un cuchillo en distintos ángulos: hipérbola, parábola, elipse y, cómo no, la circunferencia. Los principales resultados relativos a ellas los obtuvo Apolonio de Pérgamo (262-190 a. C.) que describió en sus 8 libros Secciones Cónicas, aunque fueron descubiertas por Menecmo, un discípulo de Platón. Aunque Platón no era matemático, las tenía en muy alta estima. Una inscripción sobre su Academia decía: “Que nadie entre aquí si no sabe geometría”. Se dice que propuso a sus discípulos el siguiente problema: explicar el movimiento de los cuerpos celestes mediante una combinación de movimientos circulares. Apolonio propuso que se podían explicar como combinación de movimientos circulares, como sucede en la construcción de una epicicloide.
La circunferencia y la reina
Una célebre propiedad maximal de la circunferencia está asociada a la leyenda de la reina Dido de Cartago, que Virgilio refiere en La Eneida. Dido era una princesa fenicia de Tiro (hoy en el Líbano). El rey Pigmalión, su hermano implacable, asesinó a su marido para despojarla de sus posesiones. Dido huyó por el mar arribando a lo que después sería Cartago. Allí quiso comprar tierra donde asentarse ella y su gente al cacique del lugar, el rey Jarbas de Numidia, y de este modo establecer una nueva patria. El rey Jarbas no quería colonias en su país así que le propuso lo siguiente: le daría únicamente la tierra que pudiera encerrar una piel de buey. Dido no era tonta y le sacó el máximo partido. Interpretó la palabra “encerrar” del modo más amplio: hizo cortar la piel en tiras muy finas e hizo una cuerda cerrada de gran longitud. Podemos hacer un pequeño cálculo de lo que consiguió: suponiendo que hizo unas tiras de 2 mm de ancho, su longitud pudo estar entre los 1000 y los 2000 metros.
Ahora vino la segunda parte: debía conseguir con esa longitud encerrar la mayor área posible. Éste es un problema matemático ya conocido por los griegos: el problema isoperimétrico. No se trata de algo irrelevante. Un pillo, listo en matemáticas, podría engañar fácilmente a quien no supiese que un terreno de perímetro más corto que otro puede encerrar un área mayor: No hay que fiarse del tiempo que se tarda en recorrer un terreno por su cerca para creer que es más grande que otro.
Curvas
La solución al problema de la reina Dido es evidente: dada una cierta longitud, es la circunferencia la que encierra la mayor área que cualquier otra estructura que pudiéramos inventarnos. Y si fijáramos la cuerda de piel de buey junto a la línea de costa, el semicírculo encerraría aún más área. Eso es lo que dice la leyenda que hizo. Por cierto, si echamos un vistazo a las construcciones medievales descubriremos que las ciudades también se construían partiendo de esta propiedad maximal.
Parábolas contra Roma
La parábola tiene curiosas propiedades. Imaginemos que pintamos un montón de líneas paralelas que inciden sobre la parábola: ¿qué pasará cuando choquen con ella? Herón de Alejandría lo resolvió al darse cuenta que la luz sigue siempre el camino más corto. En este caso, todos rebotarían cortándose en un punto, el foco de la parábola. Si giramos la parábola sobre su eje construiremos un espejo parabólico idéntico a los que, según cuenta la historia, Arquímedes usó para mantener a raya a los romanos en la invasión de Siracusa. ¿Realmente los construyó? No se sabe, pero es factible, como probaron el naturalista francés Georges Bufón en 1747 y el ingeniero griego Ioannis Sacas en 1973.
